Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (1)$ heraus.

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

Schritt 3

Sei $u = x^{2} + x + 5$ . Dann ist $d u = (2 x + 1) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x^{2} + x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{2} + x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.1.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Schritt 3.1.6

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$2 x + 1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$2 \ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + x + 5$ .

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$