Analysis Beispiele

$y = (3 x - 1) (2 x + 5)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((3 x - 1) (2 x + 5))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x - 1$ und $g (x) = 2 x + 5$ .

$(3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(3 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 3.2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x - 1) (2 + 0) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x - 1$ .

$2 \cdot (3 x - 1) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 + 0)$

Schritt 3.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.12.1

Addiere $3$ und $0$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) \cdot 3$

Schritt 3.2.12.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 x + 5$ .

$2 (3 x - 1) + 3 \cdot (2 x + 5)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x + 5)$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 x - 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x - 2 + 6 x + 3 \cdot 5$

Schritt 3.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$6 x - 2 + 6 x + 15$

Schritt 3.3.3.5

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$12 x - 2 + 15$

Schritt 3.3.3.6

Addiere $- 2$ und $15$ .

$12 x + 13$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 12 x + 13$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x + 13$