Analysis Beispiele

$y = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + \frac{π}{4}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + \frac{π}{4}$ .

$- 4 (- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 (\sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{π}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Schritt 1.3.4

Da $\frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4})$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin (x + \frac{π}{4})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (x + \frac{π}{4}))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{π}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $\sin (x + \frac{π}{4})$ durch $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Schritt 5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Schritt 7

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 9.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 9.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 9.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $x + \frac{π}{4} = 0$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

Schritt 12.2

Addiere $- π$ und $π$ .

$4 \cos (\frac{0}{4})$

Schritt 12.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$4 \cos (0)$

Schritt 12.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 13

$x = - \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

Schritt 14.2.2

Addiere $- π$ und $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{0}{4})$

Schritt 14.2.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (0)$

Schritt 14.2.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cdot 1$

Schritt 14.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4$

Schritt 14.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Schritt 16.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

Schritt 16.3.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$4 \cos (π)$

Schritt 16.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$4 (- \cos (0))$

Schritt 16.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 16.6

Multipliziere $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \cdot - 1$

Schritt 16.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4$

Schritt 17

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Schritt 18.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Schritt 18.2.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

Schritt 18.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

Schritt 18.2.3.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (π)$

Schritt 18.2.4

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- \cos (0))$

Schritt 18.2.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 18.2.6

Multipliziere $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cdot - 1$

Schritt 18.2.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

Schritt 18.2.7

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 19

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ .

$(- \frac{π}{4}, - 4)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{3 π}{4}, 4)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20