Analysis Beispiele

$g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$

Schritt 1

Die Funktion $G (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $g (x)$ ermittelt wird.

$G (x) = \int g (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$G (x) = \int 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$5 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int π d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int π d x$

Schritt 9.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int π d x$

Schritt 9.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int π d x$

Schritt 9.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int π d x$

Schritt 9.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int π d x$

Schritt 9.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int π d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int π d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + π x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$ .

$G (x) =$ $3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$