Analysis Beispiele

$2^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- x^{- 2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $2^{\frac{1}{x}}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\ln (2) (- \frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\ln (2)$ und $\frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ um.

$- \frac{2^{\frac{1}{x}} \ln (2)}{x^{2}}$