Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (n x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (n x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (n x)}{\cos (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wandle von $\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}$ nach $\tan (n x)$ um.

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \csc (x)$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x) \csc (x)$

Schritt 3

Berechne den linksseitigen Grenzwert.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (n x) \csc (x)$ als $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 3.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 3.2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{-}} n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.1.2.3.1

Mutltipliziere $n$ mit $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 3.2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 3.2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 \sin (x)}$

Schritt 3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}$

Schritt 3.2.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}$

Schritt 3.2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 3.2.1.3.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = n x$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $n x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $n x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3.3

Da $n$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $n x$ nach $x$ gleich $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3.5

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3.6

Stelle die Faktoren von $\sec^{2} (n x) n$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 3.2.3.7

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

Schritt 3.2.3.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

Schritt 3.2.3.9

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.2.3.10

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $\sec (n x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (n x)}$ an.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $n$ und $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.7

Kombinieren.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Schritt 3.2.9

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

Schritt 3.2.10

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

Schritt 3.2.11

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ nach $\sec^{2} (n x)$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Schritt 3.2.12

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Schritt 3.2.13

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Schritt 3.2.14

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Schritt 3.2.15

Dividiere $n$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.3.1

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Schritt 3.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

Schritt 3.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

Schritt 3.3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (n x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{-}} \sec (n x))}^{2}$

Schritt 3.3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{-}} n x)$

Schritt 3.3.6

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

Schritt 3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

Schritt 3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.5.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $n$ mit $0$ .

$n \cdot \sec^{2} (0)$

Schritt 3.5.4

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$n \cdot 1^{2}$

Schritt 3.5.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$n \cdot 1$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x) \csc (x)$

Schritt 5

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 5.1

Schreibe $\tan (n x) \csc (x)$ als $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 5.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 5.2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{+}} n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 5.2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 5.2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Mutltipliziere $n$ mit $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Schritt 5.2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 5.2.1.3.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Schritt 5.2.1.3.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 \sin (x)}$

Schritt 5.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Schritt 5.2.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Schritt 5.2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 5.2.1.3.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = n x$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $n x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $n x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3.3

Da $n$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $n x$ nach $x$ gleich $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3.6

Stelle die Faktoren von $\sec^{2} (n x) n$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Schritt 5.2.3.7

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

Schritt 5.2.3.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

Schritt 5.2.3.9

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.2.3.10

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $\sec (n x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (n x)}$ an.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Schritt 5.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $n$ und $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5.2.7

Kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Schritt 5.2.9

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

Schritt 5.2.10

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

Schritt 5.2.11

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ nach $\sec^{2} (n x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Schritt 5.2.13

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Schritt 5.2.14

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Schritt 5.2.15

Dividiere $n$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.3.1

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Schritt 5.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

Schritt 5.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

Schritt 5.3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (n x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \sec (n x))}^{2}$

Schritt 5.3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{+}} n x)$

Schritt 5.3.6

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

Schritt 5.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

Schritt 5.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.5.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $n$ mit $0$ .

$n \cdot \sec^{2} (0)$

Schritt 5.5.4

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$n \cdot 1^{2}$

Schritt 5.5.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$n \cdot 1$

Schritt 5.5.6

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n$

Schritt 6

Da der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, ist der Grenzwert gleich $n$ .

$n$