Analysis Beispiele

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Dann ist $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Schritt 2.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$