Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} - \frac{1}{x + 3}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{6}{9 - x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(9 - x^{2}) (x + 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{6}{9 - x^{2}}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 3}$ mit $\frac{9 - x^{2}}{9 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{9 - x^{2}}{(x + 3) (9 - x^{2})}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (9 - x^{2})$ um.

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3)}{(9 - x^{2}) (x + 3)} - \frac{9 - x^{2}}{(9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{(9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 3} 6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $6 (x + 3) - (9 - x^{2})$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{6 (- 3 + 3) - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{6 \cdot 0 - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{0 - (9 - {(- 3)}^{2})}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{0 - (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{0 - (9 - 9)}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2.2.4

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} (9 - x^{2}) (x + 3)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 9 - x^{2} \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 3} 9 - lim_{x \to - 3} x^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{0}{(9 - lim_{x \to - 3} x^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 2.1.3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to - 3} x + 3}$

Schritt 2.1.3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3)}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{0}{(9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + 3)}$

Schritt 2.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{(9 - {(- 3)}^{2}) \cdot (lim_{x \to - 3} x + 3)}$

Schritt 2.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{(9 - {(- 3)}^{2}) \cdot (- 3 + 3)}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.8.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{0}{(9 - 1 \cdot 9) \cdot (- 3 + 3)}$

Schritt 2.1.3.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{0}{(9 - 9) \cdot (- 3 + 3)}$

Schritt 2.1.3.8.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot (- 3 + 3)}$

Schritt 2.1.3.8.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.8.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.8.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (x + 3) - (9 - x^{2})}{(9 - x^{2}) (x + 3)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3) - (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3) - (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 (x + 3) - (9 - x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 (x + 3)] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x + 3)] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 (x + 3)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 (x + 3)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- (9 - x^{2})]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (9 - x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.4.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.4.7

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.4.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [(9 - x^{2}) (x + 3)]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 9 - x^{2}$ und $g (x) = x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{(9 - x^{2}) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $9 - x^{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 2.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}$

Schritt 2.3.13

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}$

Schritt 2.3.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 2.3.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Schritt 2.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- (2 x))}$

Schritt 2.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + (x + 3) (- 2 x)}$

Schritt 2.3.18

Vereinfache.

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Schritt 2.3.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} + x (- 2 x) + 3 (- 2 x)}$

Schritt 2.3.18.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.18.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 (x^{1} x) + 3 (- 2 x)}$

Schritt 2.3.18.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 2 x)}$

Schritt 2.3.18.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{1 + 1} + 3 (- 2 x)}$

Schritt 2.3.18.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{2} + 3 (- 2 x)}$

Schritt 2.3.18.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - x^{2} - 2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 2.3.18.2.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{9 - 3 x^{2} - 6 x}$

Schritt 2.3.18.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to - 3} x + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} - 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{- lim_{x \to - 3} 3 x^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 3 lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}$

Schritt 3.1.3.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + 9}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{- 3 {(- 3)}^{2} - 6 lim_{x \to - 3} x + 9}$

Schritt 3.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{- 3 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Schritt 3.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.7.1.1

Multipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.7.1.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.7.1.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Schritt 3.1.3.7.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{{(- 3)}^{1 + 2} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Schritt 3.1.3.7.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} - 6 \cdot - 3 + 9}$

Schritt 3.1.3.7.1.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{0}{- 27 - 6 \cdot - 3 + 9}$

Schritt 3.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$\frac{0}{- 27 + 18 + 9}$

Schritt 3.1.3.7.2

Addiere $- 27$ und $18$ .

$\frac{0}{- 9 + 9}$

Schritt 3.1.3.7.3

Addiere $- 9$ und $9$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{- 3 x^{2} - 6 x + 9} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Schritt 3.3.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 6 x + 9]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Schritt 3.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Schritt 3.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Schritt 3.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 3.3.8.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Schritt 3.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}$

Schritt 3.3.8.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]}$

Schritt 3.3.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6 + 0}$

Schritt 3.3.10

Addiere $- 6 x - 6$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{- 6 x - 6}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 6 x - 6$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{- 6 x - 6}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{2 (- 3 x) - 6}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1}{2 (- 3 x) + 2 \cdot - 3}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (1)}{2 (- 3 x - 3)}$

Schritt 3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 1}{2 (- 3 x - 3)}$

Schritt 3.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 3} \frac{1}{- 3 x - 3}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} - 3 x - 3}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to - 3} - 3 x - 3}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{1}{- lim_{x \to - 3} 3 x - lim_{x \to - 3} 3}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 3}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{1}{- 3 \cdot - 3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{9 - 1 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{9 - 3}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{6}$

Dezimalform:

$0.1\overline{6}$