Analysis Beispiele

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 4^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 16$

Schritt 1.2

Teile jeden Term durch $16$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 4$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = - 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 2, - 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 16}$

Schritt 5.3.3

Addiere $16$ und $16$ .

$\sqrt{32}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\sqrt{16 (2)}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 \sqrt{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, - 2)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 6, - 2)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(2, - 2), (- 6, - 2)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 16}}{4}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$\frac{\sqrt{32}}{4}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{4}$

Schritt 8.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 8.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 8.3.2.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{2})}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 9.3.4.2.4

Dividiere $2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Schritt 11.2

Vereinfache $1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $x - (- 2)$ mit $1$ .

$y = x - (- 2) - 2$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = x + 2 - 2$

Schritt 11.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$y = x + 0$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = x$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Schritt 12.2

Vereinfache $- 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = - 1 \cdot (x + 2) - 2$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 x - 1 \cdot 2 - 2$

Schritt 12.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x - 1 \cdot 2 - 2$

Schritt 12.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - x - 2 - 2$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$y = - x - 4$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = x, y = - x - 4$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 2, - 2)$

Scheitelpunkte: $(2, - 2), (- 6, - 2)$

Brennpunkte: $(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Exzentrizität: $\sqrt{2}$

Fokaler Parameter: $2 \sqrt{2}$

Asymptoten: $y = x$ , $y = - x - 4$

Schritt 15