Analysis Beispiele

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

Schritt 4

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Bringe $u^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \int u^{- 5} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 5}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $u^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Schritt 9.1.2

Bringe $u^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4 u^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Schritt 11.2

Separiere Brüche.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

Schritt 11.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ nach $\sec^{4} (x)$ um.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Schritt 11.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

Schritt 11.6

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$