Analysis Beispiele

${(\frac{1}{2})}^{4 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{2})}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{u} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2^{2} {(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{2}$ als $2^{- 1}$ um.

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{- 1})}^{4 x}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} \cdot 2^{- (4 x)} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2^{2} \cdot 2^{- 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \cdot 1$

Schritt 9

Mutltipliziere $2^{2 - 4 x}$ mit $1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2})$