Analysis Beispiele

$\int_{4}^{6} \frac{x^{2} + 2}{x - 2} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{2} + 2$ durch $x - 2$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - 2 x$

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					+	$2 x$	-	$4$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 4$

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$6$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{4}^{6} x + 2 + \frac{6}{x - 2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{4}^{6} x d x + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{4}^{6} \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 6

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 6.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{lower} = 4 - 2$

Schritt 6.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{upper} = 6 - 2$

Schritt 6.5

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6}$ und $2 x]_{4}^{6}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ bei $6$ und $4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Schritt 9.2

Berechne $\ln (| u |)$ bei $4$ und $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $36$ .

$\frac{36}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{2 \cdot 18}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.3.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$18 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$18 + 12 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.5

Addiere $18$ und $12$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 16 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$30 - (\frac{16}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 9.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$30 - (\frac{8}{1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.8.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$30 - (8 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$30 - (8 + 8) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.10

Addiere $8$ und $8$ .

$30 - 1 \cdot 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$30 - 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 9.3.12

Subtrahiere $16$ von $30$ .

$14 + 6 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 + 6 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Schritt 11.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{2})$

Schritt 11.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$14 + 6 \ln (2)$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$14 + 6 \ln (2)$

Dezimalform:

$18.15888308 \dots$

Schritt 13