Analysis Beispiele

$- 5 y^{3} = 3 + x + x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 + x + x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 15 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 15 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 1 + 3 x^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Addiere $0$ und $1$ .

$1 + 3 x^{2}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$ durch $- 15 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$ durch $- 15 y^{2}$ .

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 15$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $- 15$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (x^{2})}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 15 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (x^{2})}{3 (- 5 y^{2})} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 (- 5 y^{2})} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{2}}{- 5 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} - \frac{1}{15 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} - \frac{1}{15 y^{2}}$