Analysis Beispiele

$\int_{\frac{1}{18}}^{\frac{1}{6}} \csc (3 π t) \cot (3 π t) d t$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \csc (3 π t)$ . Dann ist $d u_{2} = - 3 π \cot (3 π t) \csc (3 π t) d t$ , folglich $\frac{1}{- 3 π} d u_{2} = \cot (3 π t) \csc (3 π t) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \csc (3 π t)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\csc (3 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (3 π t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \csc (t)$ und $g (t) = 3 π t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 π t]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 π t]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 π t$ .

$- \csc (3 π t) \cot (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $3 π$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 π t$ nach $t$ gleich $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (3 π t) \cot (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) (π \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.4.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) π$

Schritt 1.1.3.4.2

Stelle die Faktoren von $- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) π$ um.

$- 3 π \cot (3 π t) \csc (3 π t)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = \csc (3 π t)$ ein.

$u_{lower} = \csc (3 π \frac{1}{18})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$u_{lower} = \csc (3 (π) \frac{1}{18})$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$u_{lower} = \csc (3 (π) \frac{1}{3 (6)})$

Schritt 1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \csc (3 π \frac{1}{3 \cdot 6})$

Schritt 1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = \csc (3 π t)$ ein.

$u_{upper} = \csc (3 π \frac{1}{6})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$u_{upper} = \csc (3 (π) \frac{1}{6})$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = \csc (3 (π) \frac{1}{3 (2)})$

Schritt 1.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \csc (3 π \frac{1}{3 \cdot 2})$

Schritt 1.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 3 π} d u_{2}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{3 π} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{3 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{3 π} u_{2}$ bei $1$ und $2$ .

$(- \frac{1}{3 π} \cdot 1) + \frac{1}{3 π} \cdot 2$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3 π} + \frac{1}{3 π} \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3 π}$ und $2$ .

$- \frac{1}{3 π} + \frac{2}{3 π}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2}{3 π}$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{3 π}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3 π}$

Dezimalform:

$0.10610329 \dots$