Analysis Beispiele

$- x^{2} - y^{2} + 3 y = - 5$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x^{2} - y^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} - y^{2} + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 x - (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x - 2 y y' + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 x - 2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 x - 2 y y' + 3 y'$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$- 2 y y' - 2 x + 3 y'$

Schritt 3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 y y' - 2 x + 3 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' + 3 y' = 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' + 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (- 2 y) + 3 y' = 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y'$ heraus.

$y' (- 2 y) + y' \cdot 3 = 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 y) + y' \cdot 3$ heraus.

$y' (- 2 y + 3) = 2 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 y + 3) = 2 x$ durch $- 2 y + 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 y + 3) = 2 x$ durch $- 2 y + 3$ .

$\frac{y' (- 2 y + 3)}{- 2 y + 3} = \frac{2 x}{- 2 y + 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 y + 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 y + 3)}{- 2 y + 3} = \frac{2 x}{- 2 y + 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- 2 y + 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 x}{- (2 y) + 3}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y' = \frac{2 x}{- (2 y) - 1 (- 3)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y) - 1 (- 3)$ heraus.

$y' = \frac{2 x}{- (2 y - 3)}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $- (2 y - 3)$ als $- 1 (2 y - 3)$ um.

$y' = \frac{2 x}{- 1 (2 y - 3)}$

Schritt 5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{2 y - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{2 y - 3}$