Analysis Beispiele

$- y - 2 x^{3} = y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y - 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y - 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- y' - 2 (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- y' - 6 x^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 6 x^{2} - y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 6 x^{2} - y' = 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{2} - y' - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2

Addiere $6 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' - 2 y y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' \cdot - 1 - 2 y y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' \cdot - 1 + y' (- 2 y) = 6 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot - 1 + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (- 1 - 2 y) = 6 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 1 - 2 y) = 6 x^{2}$ durch $- 1 - 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 1 - 2 y) = 6 x^{2}$ durch $- 1 - 2 y$ .

$\frac{y' (- 1 - 2 y)}{- 1 - 2 y} = \frac{6 x^{2}}{- 1 - 2 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - 2 y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 1 - 2 y)}{- 1 - 2 y} = \frac{6 x^{2}}{- 1 - 2 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 - 2 y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (1) - 2 y}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (1) - (2 y)}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (1 + 2 y)}$

Schritt 5.4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{1 + 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{1 + 2 y}$