Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} y^{2} \sqrt{1 + y^{3}} d y$

Schritt 1

Sei $u = 1 + y^{3}$ . Dann ist $d u = 3 y^{2} d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + y^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{3}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 y^{2}$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $3 y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = 1 + y^{3}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = 1 + y^{3}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 6.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

Schritt 6.2.10

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 6.2.11

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 6.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 6.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.13.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Schritt 6.2.13.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

Schritt 6.2.14

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{52}{9}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{52}{9}$

Dezimalform:

$5.\overline{7}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$5 \frac{7}{9}$

Schritt 8