Analysis Beispiele

$y = 3^{\ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{\ln (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 3^{x}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{1}{x}$

Schritt 3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $3^{\ln (x)}$ .

$\frac{3^{\ln (x)}}{x} \ln (3)$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{3^{\ln (x)}}{x}$ und $\ln (3)$ .

$\frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$