Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.8.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0}{3 \ln (1) - 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.8.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.8.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.8.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.3.8.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.8.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \ln (x + 1) - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (x + 1)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.8

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot 1}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3}$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Vereine die Terme

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Schritt 3.9.1.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}$

Schritt 3.9.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{- 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Schritt 3.9.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 - 3 (x + 1)$ heraus.

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Schritt 3.9.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 (x + 1)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) + 3 (- (x + 1))}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- (x + 1))$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - (x + 1))}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1 \cdot 1)}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1)}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (- x + 0)}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2.5

Addiere $- x$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 \cdot - 1 x}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.9.2.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- (3 x)}{x + 1}}$

Schritt 3.9.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- 3 x}{x + 1}}$

Schritt 3.9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{- \frac{3 x}{x + 1}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Schritt 5

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Schritt 6

Wenn sich die $x$ -Werte von links an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\infty$

Schritt 7

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Schritt 8

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke ab.

$- \infty$

Schritt 9

Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht gleich sind, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$