Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (2 x + 1) + x^{3}}{5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 \ln (2 x + 1) + x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 \ln (2 x + 1) + lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 0} \ln (2 x + 1) + lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 0} 2 x + 1) + lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 0} x + 1) + {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot 0 + 1) + {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot 0 + 1) + 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.9.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{4 \ln (0 + 1) + 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.9.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{4 \ln (1) + 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.9.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.9.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.9.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.2.9.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 3 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (2 x + 1) + x^{3}}{5 x^{2} + 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 1) + x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 1) + x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \ln (2 x + 1) + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 1)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (2 x + 1)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 1} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.8

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 1} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2 x + 1}$ und $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{2}{2 x + 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x + 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{8}{2 x + 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{8}{2 x + 1} + 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1.1

Um $3 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{8}{2 x + 1} + \frac{3 x^{2} (2 x + 1)}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{8 + 3 x^{2} (2 x + 1)}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}}{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}}{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}}{10 x + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}}{10 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}}{10 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}}{10 x + 3}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{10 x + 3}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{2 x + 1}$ mit $\frac{1}{10 x + 3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{(2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} (2 x + 1) + 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} (2 x + 1) + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} (2 x + 1) + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1 + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1 + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{lim_{x \to 0} (2 x + 1) (10 x + 3)}$

Schritt 15

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{lim_{x \to 0} 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 0} 10 x + 3}$

Schritt 16

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{(lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 10 x + 3}$

Schritt 17

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{(2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 10 x + 3}$

Schritt 18

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{(2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} 10 x + 3}$

Schritt 19

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{(2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (lim_{x \to 0} 10 x + lim_{x \to 0} 3)}$

Schritt 20

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{(2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (10 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3)}$

Schritt 21

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{(2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (10 lim_{x \to 0} x + 3)}$

Schritt 22

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 22.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1) + 8}{(2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (10 lim_{x \to 0} x + 3)}$

Schritt 22.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (2 \cdot 0 + 1) + 8}{(2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (10 lim_{x \to 0} x + 3)}$

Schritt 22.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (2 \cdot 0 + 1) + 8}{(2 \cdot 0 + 1) \cdot (10 lim_{x \to 0} x + 3)}$

Schritt 22.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (2 \cdot 0 + 1) + 8}{(2 \cdot 0 + 1) \cdot (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 23.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 \cdot (2 \cdot 0 + 1) + 8}{(2 \cdot 0 + 1) \cdot (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 0 + 1) + 8}{(2 \cdot 0 + 1) \cdot (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot (0 + 1) + 8}{(2 \cdot 0 + 1) \cdot (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + 8}{(2 \cdot 0 + 1) \cdot (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 + 8}{(2 \cdot 0 + 1) \cdot (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23.1.6

Addiere $0$ und $8$ .

$\frac{8}{(2 \cdot 0 + 1) \cdot (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 23.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{8}{(0 + 1) (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{8}{1 (10 \cdot 0 + 3)}$

Schritt 23.2.3

Mutltipliziere $10 \cdot 0 + 3$ mit $1$ .

$\frac{8}{10 \cdot 0 + 3}$

Schritt 23.2.4

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{8}{0 + 3}$

Schritt 23.2.5

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{8}{3}$