Analysis Beispiele

$e^{\frac{x}{y}} = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $e^{\frac{x}{y}}$ und $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 1 y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 1 y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = 1 y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = 1 y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = 1 y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ um.

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.3

Bewege $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.4

Stelle $y e^{\frac{x}{y}}$ und $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ um.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y e^{\frac{x}{y}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ durch $- x e^{\frac{x}{y}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ durch $- x e^{\frac{x}{y}}$ .

$\frac{- y' x e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y' x e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' e^{\frac{x}{y}}}{e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{x}{y}}$ .

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' e^{\frac{x}{y}}}{e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{x}{y}}$ .

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Schritt 5.3.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}}$

Schritt 5.3.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y}{x}$