Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 2}{4 x^{2} + 7}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^{2}}}{4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{4 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0}{4 + 7 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{5 + 0}{4 + 7 \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{4 + 7 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{5}{4 + 0}$

Schritt 6.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{5}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{4}$

Dezimalform:

$1.25$