Analysis Beispiele

$x^{2} y - 3 x = y^{3} - 3$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 3 x) = \frac{d}{d x} (y^{3} - 3)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 3 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 3$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y - 3$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 y^{2} y' + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $3 y^{2} y'$ und $0$ .

$3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{2} y' + 2 x y - 3 = 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x y - 3 - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' - 3 - 3 y^{2} y' = - 2 x y$

Schritt 5.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' - 3 y^{2} y' = - 2 x y + 3$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y' - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' x^{2} - 3 y^{2} y' = - 2 x y + 3$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (- 3 y^{2}) = - 2 x y + 3$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2}) + y' (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' (x^{2} - 3 y^{2}) = - 2 x y + 3$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} - 3 y^{2}) = - 2 x y + 3$ durch $x^{2} - 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} - 3 y^{2}) = - 2 x y + 3$ durch $x^{2} - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (x^{2} - 3 y^{2})}{x^{2} - 3 y^{2}} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{3}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} - 3 y^{2})}{x^{2} - 3 y^{2}} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{3}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{3}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x y + 3}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x y) + 3}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y' = \frac{- (2 x y) - 1 (- 3)}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x y) - 1 (- 3)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x y - 3)}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (2 x y - 3)$ als $- 1 (2 x y - 3)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x y - 3)}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y - 3}{x^{2} - 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y - 3}{x^{2} - 3 y^{2}}$