Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{- 10 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 10}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(1 - 4 x)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 \cdot 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 + 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Schreibe ${(1 - 4 x)}^{2}$ als $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ um.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 - 4 x) (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.2

Mutltipliziere $- 4 x$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 8 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 8 x + 16 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Schritt 2.3.7.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.8.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

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Schritt 2.3.10.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.10.1.1

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10.1.2

Addiere $- 8 + 32 x$ und $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $32 x - 8$ durch $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} 32 x - 8$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 10} (lim_{x \to 0} 32 x - lim_{x \to 0} 8)$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $32$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 8)$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 8)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $32$ mit $0$ .

$- \frac{1}{10} (0 - 1 \cdot 8)$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- \frac{1}{10} (0 - 8)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot - 8$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{10}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{10} \cdot - 8$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 8$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

Schritt 5.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

Schritt 5.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} \cdot - 4$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{- 1}{5}$ und $- 4$ .

$\frac{- - 4}{5}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{4}{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{5}$

Dezimalform:

$0.8$