Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{n} - 3}{x^{m} - 3}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{n} - 3}{lim_{x \to 3} x^{m} - 3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{n} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{m} - 3}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $n$ von $x^{n}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{n} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{m} - 3}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{n} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{m} - 3}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{n} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{m} - lim_{x \to 3} 3}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $m$ von $x^{m}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{n} - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 3} x)}^{m} - lim_{x \to 3} 3}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{n} - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 3} x)}^{m} - 1 \cdot 3}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{n} - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 3} x)}^{m} - 1 \cdot 3}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{n} - 1 \cdot 3}{3^{m} - 1 \cdot 3}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3^{n} - 3}{3^{m} - 1 \cdot 3}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3^{n} - 3}{3^{m} - 3}$