Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} + 2$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{3} + 2$ ein.

$u_{lower} = 0^{3} + 2$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $2$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{3} + 2$ ein.

$u_{upper} = 1^{3} + 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 2$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{3}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $3$ und $2$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Bringe $3^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $3^{\frac{3}{2}}$ mit $3^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1

Bewege $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Kombiniere $2^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Schritt 6.2.5

Multipliziere $2^{\frac{3}{2}}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $2^{\frac{3}{2}}$ mit $2$ .

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Schritt 6.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Schritt 6.2.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Schritt 6.2.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Schritt 6.2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Schritt 6.2.5.4

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Schritt 7.2

Multipliziere $\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Schritt 7.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1

Bringe $3^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 7.4.2

Multipliziere $3$ mit $3^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 7.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{3^{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 7.4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3^{\frac{2 - 1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 7.4.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Dezimalform:

$0.52616117 \dots$

Schritt 9