Analysis Beispiele

$5 y - 4 y^{3} + 4 x^{3} = - 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 y - 4 y^{3} + 4 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 y - 4 y^{3} + 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 y' - 4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 y' - 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 y' - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 y' - 4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$5 y' - 12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 y' - 12 y^{2} y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 y' - 12 y^{2} y' + 4 (3 x^{2})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$5 y' - 12 y^{2} y' + 12 x^{2}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$12 x^{2} - 12 y^{2} y' + 5 y'$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$12 x^{2} - 12 y^{2} y' + 5 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Subtrahiere $12 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y^{2} y' + 5 y' = - 12 x^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 12 y^{2} y' + 5 y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 12 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 12 y^{2}) + 5 y' = - 12 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $5 y'$ heraus.

$y' (- 12 y^{2}) + y' \cdot 5 = - 12 x^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 12 y^{2}) + y' \cdot 5$ heraus.

$y' (- 12 y^{2} + 5) = - 12 x^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 12 y^{2} + 5) = - 12 x^{2}$ durch $- 12 y^{2} + 5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 12 y^{2} + 5) = - 12 x^{2}$ durch $- 12 y^{2} + 5$ .

$\frac{y' (- 12 y^{2} + 5)}{- 12 y^{2} + 5} = \frac{- 12 x^{2}}{- 12 y^{2} + 5}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12 y^{2} + 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 12 y^{2} + 5)}{- 12 y^{2} + 5} = \frac{- 12 x^{2}}{- 12 y^{2} + 5}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{- 12 y^{2} + 5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{- 12 y^{2} + 5}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{- (12 y^{2}) + 5}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{- (12 y^{2}) - 1 (- 5)}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 y^{2}) - 1 (- 5)$ heraus.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{- (12 y^{2} - 5)}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe $- (12 y^{2} - 5)$ als $- 1 (12 y^{2} - 5)$ um.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{- 1 (12 y^{2} - 5)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{12 x^{2}}{12 y^{2} - 5}$

Schritt 5.3.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{12 x^{2}}{12 y^{2} - 5}$

Schritt 5.3.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{12 x^{2}}{12 y^{2} - 5}$ mit $1$ .

$y' = \frac{12 x^{2}}{12 y^{2} - 5}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{2}}{12 y^{2} - 5}$