Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 + \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 + \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 + \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

Schritt 1.3.5.2

Addiere $6$ und $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 + \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $3$ und $1$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

Schritt 3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $4$ und $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

Schritt 5.2

$\frac{7}{2}$ ist ungefähr $3.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

Schritt 5.4

Multipliziere $4 (\frac{2}{7})$ .

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{8}{7})$

Dezimalform:

$0.13353139 \dots$