Analysis Beispiele

$\int_{\sqrt{x}}^{\frac{π}{6}} θ \tan (θ) d θ$

Schritt 1

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{\frac{π}{6}}^{\sqrt{x}} θ \tan (θ) d θ]$

Schritt 2

Nehme die Ableitung von $- \int_{\frac{π}{6}}^{\sqrt{x}} θ \tan (θ) d θ$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- (\sqrt{x} \tan (\sqrt{x})))$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $\sqrt{x}$ .

$- \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \tan (\sqrt{x})$

Schritt 11

Kombiniere $\tan (\sqrt{x})$ und $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\tan (\sqrt{x}) \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$