Analysis Beispiele

$\frac{3 + x}{2 - 5 x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 + x$ und $g (x) = 2 - 5 x^{2}$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + x] - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \cdot 1 - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2 - 5 x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 5 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 5 (3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 5 (3 + x) (2 x)}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 10 (3 + x) x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - 5 x^{2} + (10 \cdot 3 + 10 x) x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - 5 x^{2} + 10 \cdot 3 x + 10 x \cdot x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 x \cdot x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 (x \cdot x)}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 x^{2}}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 5 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$\frac{2 + 5 x^{2} + 30 x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{5 x^{2} + 30 x + 2}{{(- 5 x^{2} + 2)}^{2}}$