Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 8}{4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{4 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{3 + 0 + 8 \cdot 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 8.1.3

Addiere $3 + 0$ und $0$ .

$\frac{3 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 8.1.4

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{3}{4 + 0}$

Schritt 8.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{4}$

Dezimalform:

$0.75$