Analysis Beispiele

$2 \sin^{2} (x) + 1$

Schritt 1

Schreibe $2 \sin^{2} (x) + 1$ als Funktion.

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\int 1 - \cos (2 x) d x$ mit $1$ .

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

Schritt 12

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

Schritt 15

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Addiere $x$ und $x$ .

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

Schritt 17.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

Schritt 18

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

Schritt 19

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$