Analysis Beispiele

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x - x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 4.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0 + 0$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Addiere $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ und $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ und $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$2 x + y - \frac{1}{x^{2}}$