Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 2 x - 1}{2 x^{4} - 3 x^{3} - 2}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2 x}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 3}{x^{4}} + \frac{2 x}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 3}{x^{3} x} + \frac{2 x}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 3}{x^{3} x} + \frac{2 x}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2 x}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 2}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{- 3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x^{3} \cdot - 3}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x^{3} \cdot - 3}{x^{3} x} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x^{3} \cdot - 3}{x^{3} x} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{- 3}{x} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{2 - \frac{3}{x} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 7.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0}{2 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0}{2 - 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0}{2 - 3 \cdot 0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0}{2 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0 - 0}{2 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 - 0}{2 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{2 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.1.4

Addiere $0 + 0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0}{2 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{2 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{0}{2 + 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0}{2 + 0 + 0}$

Schritt 11.2.3

Addiere $2 + 0$ und $0$ .

$\frac{0}{2 + 0}$

Schritt 11.2.4

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 11.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$