Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x + 6) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} + x + 6 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ und $6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $2$ und $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ bei $2$ und $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 27 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.5

Kombiniere $27$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{27}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.6.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.7

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.8

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 27}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.10.2

Addiere $8$ und $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{35}{3}$ .

$\frac{35}{2 \cdot 3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{35}{6} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{4}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.15.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35}{6} + \frac{2}{1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.15.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.16

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 12 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.17

Addiere $2$ und $12$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.18

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.19

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + 6 \cdot - 3)$

Schritt 7.2.3.20

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18)$

Schritt 7.2.3.21

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 7.2.3.22

Kombiniere $- 18$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2})$

Schritt 7.2.3.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 18 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.24.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 36}{2}$

Schritt 7.2.3.24.2

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{- 27}{2}$

Schritt 7.2.3.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{35}{6} + 14 - - \frac{27}{2}$

Schritt 7.2.3.26

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + 1 (\frac{27}{2})$

Schritt 7.2.3.27

Mutltipliziere $\frac{27}{2}$ mit $1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + \frac{27}{2}$

Schritt 7.2.3.28

Um $14$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Schritt 7.2.3.29

Kombiniere $14$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Schritt 7.2.3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2 + 27}{2}$

Schritt 7.2.3.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.31.1

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{28 + 27}{2}$

Schritt 7.2.3.31.2

Addiere $28$ und $27$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2}$

Schritt 7.2.3.32

Um $\frac{55}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.33

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.33.1

Mutltipliziere $\frac{55}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.33.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{6}$

Schritt 7.2.3.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35 + 55 \cdot 3}{6}$

Schritt 7.2.3.35

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.35.1

Mutltipliziere $55$ mit $3$ .

$\frac{35 + 165}{6}$

Schritt 7.2.3.35.2

Addiere $35$ und $165$ .

$\frac{200}{6}$

Schritt 7.2.3.36

Kürze den gemeinsamen Teiler von $200$ und $6$ .

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Schritt 7.2.3.36.1

Faktorisiere $2$ aus $200$ heraus.

$\frac{2 (100)}{6}$

Schritt 7.2.3.36.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.36.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.36.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.36.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{100}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{100}{3}$

Dezimalform:

$33.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$33 \frac{1}{3}$

Schritt 9