Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{8 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ als $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ um.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $8 x$ als $2^{2} \cdot (2 x)$ um.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Schritt 1.1.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.5

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.8

Da $2^{\frac{3}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.16

Kombiniere $2^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.17

Vereinfache.

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Schritt 1.17.1

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.17.2

Bringe $2^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18

Multipliziere $2^{\frac{3}{2}}$ mit $2^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.18.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.18.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 2.10

Kombiniere $2^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.11.2

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.12

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.12.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.12.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$