Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 2 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sin (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4 \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (\sin (t))$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

Schritt 2.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (t)$ als $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 10.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 10.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 10.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 10.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 14.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.2.1

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Schritt 14.2.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

Schritt 14.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

Schritt 14.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

Schritt 14.3.4

Addiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 14.3.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Schritt 14.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 14.4

Vereinfache.

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Schritt 14.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 14.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 14.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 14.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ in den Zähler.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Schritt 14.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

Schritt 14.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 14.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$0.18117214 \dots$