Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Schritt 1.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Schritt 1.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{4} u^{4}$ bei $1 + \ln (3)$ und $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Schritt 3.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Dezimalform:

$4.59918613 \dots$