Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- 2 \frac{0}{4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(2 + x)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + 0)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 2^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 2.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 4}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$- 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Schreibe ${(2 + x)}^{2}$ als $(2 + x) (2 + x)$ um.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 + x) (2 + x)]}$

Schritt 2.3.4

Multipliziere $(2 + x) (2 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 (2 + x) + x (2 + x))]}$

Schritt 2.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x))]}$

Schritt 2.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

Schritt 2.3.5.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x)]}$

Schritt 2.3.5.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 x + x^{2})]}$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 4 x + x^{2})]}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - (4 + 4 x + x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

Schritt 2.3.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

Schritt 2.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ .

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Schritt 2.3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (4 + 4 x + x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]}$

Schritt 2.3.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + 4 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Schritt 2.3.8.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Schritt 2.3.8.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Schritt 2.3.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Schritt 2.3.8.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + 2 x)}$

Schritt 2.3.8.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 + 2 x)}$

Schritt 2.3.8.8

Addiere $0$ und $4$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (4 + 2 x)}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 x}$

Schritt 2.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 1 \cdot 2 x}$

Schritt 2.3.9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 2 x}$

Schritt 2.3.9.2.3

Subtrahiere $- (- 4 - 2 x)$ von $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 4 - 2 x}$

Schritt 2.3.9.3

Stelle die Terme um.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x - 4}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 4}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$- 2 \frac{1}{0 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 2 \frac{1}{0 - 4}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 2 (\frac{1}{- 4})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{1}{- 4}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{- 2}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1}{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$