Analysis Beispiele

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Schritt 1

Schreibe $\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ als Funktion.

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{6}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 \int x^{- 3} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 8.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Schritt 10

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 7 d x$

Schritt 11

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 7 d x$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 7 d x$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Schritt 13.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Schritt 13.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Schritt 13.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Schritt 13.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Schritt 14

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + \int 7 d x$

Schritt 15

Wende die Konstantenregel an.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + 7 x + C$

Schritt 16

Vereinfache.

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{u} + 7 x + C$

Schritt 17

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$