Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{\ln^{2} (x)}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (e)$

Schritt 1.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} u^{2} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Schritt 3.2.6

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$