Analysis Beispiele

$y = 3 x^{3} - x - 3$

Schritt 1

Schreibe $y = 3 x^{3} - x - 3$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $9 x^{2} - 1$ und $0$ .

$9 x^{2} - 1$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ und löse für $x$ .

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Schritt 3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} = 1$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 3.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 3$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{3})$ in die erste Ableitung $9 x^{2} - 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$f' (- 3) = 80$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $80$ .

$80$

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ in die erste Ableitung $9 x^{2} - 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f' (0) = - 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{1}{3}, \infty)$ in die erste Ableitung $9 x^{2} - 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$f' (3) = 80$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $80$ .

$80$

Schritt 8

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{1}{3}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt, gibt es einen Wendepunkt in $x = - \frac{1}{3}$ .

Schritt 9

Ermittle die y-Koordinate von $- \frac{1}{3}$ um den Wendepunkt zu finden.

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Schritt 9.1

Ermittle $f (- \frac{1}{3})$ um die y-Koordinate von $- \frac{1}{3}$ zu finden.

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Schritt 9.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2

Vereinfache $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

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Schritt 9.1.2.1

Entferne die Klammern.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.1.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.2.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{27}$ in den Zähler.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.5.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.7

Multipliziere $- (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 9.1.2.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Schritt 9.1.2.2.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

Schritt 9.1.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Schritt 9.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Schritt 9.1.2.3.3

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Schritt 9.1.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 9.1.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Schritt 9.1.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Schritt 9.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Schritt 9.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

Schritt 9.1.2.5.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

Schritt 9.1.2.5.3

Subtrahiere $27$ von $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

Schritt 9.1.2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{25}{9}$

Schritt 9.2

Schreibe die $x$ und $y$ Koordination in Punktform.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

Schritt 10

Da die erste Ableitung um $x = \frac{1}{3}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt, gibt es einen Wendepunkt in $x = \frac{1}{3}$ .

Schritt 11

Ermittle die y-Koordinate von $\frac{1}{3}$ um den Wendepunkt zu finden.

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Schritt 11.1

Ermittle $f (\frac{1}{3})$ um die y-Koordinate von $\frac{1}{3}$ zu finden.

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Schritt 11.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Schritt 11.1.2

Vereinfache $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

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Schritt 11.1.2.1

Entferne die Klammern.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Schritt 11.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Schritt 11.1.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Schritt 11.1.2.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

Schritt 11.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.1.2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

Schritt 11.1.2.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

Schritt 11.1.2.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

Schritt 11.1.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 11.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

Schritt 11.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Schritt 11.1.2.3.3

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Schritt 11.1.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 11.1.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Schritt 11.1.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Schritt 11.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Schritt 11.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

Schritt 11.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

Schritt 11.1.2.5.3

Subtrahiere $27$ von $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

Schritt 11.1.2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{29}{9}$

Schritt 11.2

Schreibe die $x$ und $y$ Koordination in Punktform.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Schritt 12

Das sind die Wendepunkte.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Schritt 13