Analysis Beispiele

$- x^{3} y + x^{2} = 4 y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x^{3} y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} y + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3} y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x^{3} y') - (3 y x^{2}) + 2 x$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x^{3} y' - 3 y x^{2} + 2 x$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x = 8 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Subtrahiere $8 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x - 8 y y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Addiere $3 x^{2} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} y' + 2 x - 8 y y' = 3 x^{2} y$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} y' - 8 y y' = 3 x^{2} y - 2 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{3} y' - 8 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{3} y'$ heraus.

$y' (- x^{3}) - 8 y y' = 3 x^{2} y - 2 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 8 y y'$ heraus.

$y' (- x^{3}) + y' (- 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x^{3}) + y' (- 8 y)$ heraus.

$y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$ durch $- x^{3} - 8 y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$ durch $- x^{3} - 8 y$ .

$\frac{y' (- x^{3} - 8 y)}{- x^{3} - 8 y} = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x^{3} - 8 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x^{3} - 8 y)}{- x^{3} - 8 y} = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 x^{2} y - 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} y - 2 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{x (3 x y) - 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{x (3 x y) + x \cdot - 2}{- x^{3} - 8 y}$

Schritt 5.4.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x y) + x \cdot - 2$ heraus.

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- x^{3} - 8 y}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3}) - 8 y}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 y$ heraus.

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3}) - (8 y)}$

Schritt 5.4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (8 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3} + 8 y)}$

Schritt 5.4.3.6

Stelle die Minuszeichen um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.6.1

Schreibe $- (x^{3} + 8 y)$ als $- 1 (x^{3} + 8 y)$ um.

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- 1 (x^{3} + 8 y)}$

Schritt 5.4.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (3 x y - 2)}{x^{3} + 8 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x y - 2)}{x^{3} + 8 y}$