Analysis Beispiele

$2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x^{2} + 2)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x^{2} + 2)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x^{2} + 2)$ .

$2 (2 \cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (\cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 2$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 2$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) (\sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 5.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + 0)$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x)$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$

Schritt 5.5.3

Stelle die Faktoren von $- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$ um.

$- 8 x \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2)$