Analysis Beispiele

$f (x) = a x^{2} + 7 x - 3$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{7}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a {(- \frac{7}{2})}^{2} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{4}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.6

Kombiniere $a$ und $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{a \cdot 49}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.7

Bringe $49$ auf die linke Seite von $a$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 \cdot a}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.8

Multipliziere $7 (- \frac{7}{2})$ .

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Schritt 3.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - 7 (\frac{7}{2}) - 3$

Schritt 3.2.1.8.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} - 3$

Schritt 3.2.1.8.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49}{2} - 3$

Schritt 3.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3$

Schritt 3.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 6}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $- 49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 55}{2}$

Schritt 3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$ .

$\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{7}{2}, \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2})$

Schritt 5