Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{6} [5 y - (y^{2} - 6)] d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{6} 5 y - (y^{2} - 6) d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{6} 5 y d y + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{- 1}^{6} y d y + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Schritt 6

Multipliziere $- (y^{2} - 6)$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} - - 6 d y$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} + 6 d y$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - \int_{- 1}^{6} y^{2} d y + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $6$ und $- 1$ .

$5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $6$ und $- 1$ .

$5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Schritt 13.3

Berechne $6 y$ bei $6$ und $- 1$ .

$5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$5 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 13.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.2.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$5 (18 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (18 - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.4

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.7.1

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$5 \frac{36 - 1}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.7.2

Subtrahiere $1$ von $36$ .

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.8

Kombiniere $5$ und $\frac{35}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.9

Mutltipliziere $5$ mit $35$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.10

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 13.4.11.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{175}{2} - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.11.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$\frac{175}{2} - (72 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{175}{2} - (72 - \frac{- 1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{175}{2} - (72 - - \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{175}{2} - (72 + 1 (\frac{1}{3})) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.15

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{175}{2} - (72 + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.16

Um $72$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.17

Kombiniere $72$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{175}{2} - \frac{72 \cdot 3 + 1}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.19.1

Mutltipliziere $72$ mit $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{216 + 1}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.19.2

Addiere $216$ und $1$ .

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.20

Um $\frac{175}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.21

Um $- \frac{217}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.22

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.4.22.1

Mutltipliziere $\frac{175}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.22.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.22.3

Mutltipliziere $\frac{217}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.22.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.24.1

Mutltipliziere $175$ mit $3$ .

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.24.2

Mutltipliziere $- 217$ mit $2$ .

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.24.3

Subtrahiere $434$ von $525$ .

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.25

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{91}{6} + 36 - 6 \cdot - 1$

Schritt 13.4.26

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{91}{6} + 36 + 6$

Schritt 13.4.27

Addiere $36$ und $6$ .

$\frac{91}{6} + 42$

Schritt 13.4.28

Um $42$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 13.4.29

Kombiniere $42$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

Schritt 13.4.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

Schritt 13.4.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.31.1

Mutltipliziere $42$ mit $6$ .

$\frac{91 + 252}{6}$

Schritt 13.4.31.2

Addiere $91$ und $252$ .

$\frac{343}{6}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{343}{6}$

Dezimalform:

$57.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$57 \frac{1}{6}$

Schritt 15