Analysis Beispiele

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

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Schritt 1.1

Entferne die Klammern.

$V = \frac{1}{3} \cdot ((π r^{2}) h)$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$V = \frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h))$

Schritt 3

Die Ableitung von $V$ nach $r$ ist $V'$ .

$V'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π}{3} \cdot (r^{2} h)]$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π}{3} \cdot h]$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $\frac{r^{2} π}{3}$ und $h$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π h}{3}]$

Schritt 4.2

Da $\frac{π h}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{r^{2} π h}{3}$ nach $r$ gleich $\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{π h}{3} (2 r)$

Schritt 4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π h}{3}$ .

$\frac{2 (π h)}{3} r$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $\frac{2 (π h)}{3}$ und $r$ .

$\frac{2 π h r}{3}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$V' = \frac{2 π h r}{3}$

Schritt 6

Ersetze $V'$ durch $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = \frac{2 π h r}{3}$