Analysis Beispiele

$\int [3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}}] d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 5.2

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\tan (t) + C) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$3 \tan (t) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$