Analysis Beispiele

$\int \frac{x + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x + 2 x^{2} + 3 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{1} + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot 1 + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + 3 x^{3}}{x} d x$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (2 x)$ heraus.

$\int \frac{x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})$ heraus.

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

Schritt 1.2.2

Dividiere $1 + 2 x + 3 x^{2}$ durch $1$ .

$\int 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x + C + 2 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$x + x^{2} + 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + C$