Analysis Beispiele

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Kombiniere $2^{\sqrt{x}}$ und $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Da $\ln (2)$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\ln (2)$ aus dem Integral.

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 6.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 6.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 6.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 6.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Sei $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 7.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 7.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 7.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 7.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 7.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 7.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 7.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 7.1.8

Vereinfache.

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Schritt 7.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $2^{u_{1}}$ .

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Schritt 8.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 9

Sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 9.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 9.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 9.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Das Integral von $2^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe $\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ als $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ um.

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\ln (2)$ und $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Schritt 11.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $2^{u_{2}}$ mit $1$ .

$2^{u_{2}} + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + u_{1}$ .

$2^{1 + u_{1}} + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$